필기용 블로그

● Linear Independence

 ▷v_1 ... v_n의 벡터들에 대해

    c_1×v_1 + c_2×v_2 + ... c_n×v_n = 0

    이 성립하는 경우는 모든 c가 0인 경우를 제외하곤 존재하지 않는다.

 ▶Linearly independent 한 경우

  ▷Linearly independent한 set의 subset인 경우

● Linear dependence

 ▷v_1 ... v_n의 벡터들에 대해

    c_1×v_1 + c_2×v_2 + ... c_n×v_n = 0

    이 성립하는데 몇몇 c가 0이 아닌 경우가 존재한다.

 ▶Linearly dependent 한 경우

  ▷A = [v_1 v_2 ... v_n] 이 singular 하다.

  ▷Subset S가 오직 0벡터로만 구성되어있다. 

  ▷Subset S의 원소 v_1 ... v_n 중 최소 하나의 벡터가 다른 벡터들의 선형 조합(또는 한 벡터의 스칼라곱)으로 이루어져 있다.

  ▷0벡터를 포함하는 벡터의 집합이다.

  ▷Linearly dependent한 set을 포함하는 set인 경우

▶Wronskian function

 ▷f_1, f_2 ... f_n ∈ F(R) 에서 아래와 같은 행렬식의 값.

 ▷W( f_1, f_2 ... f_n )(x_0) != 0 인 x_0( ∈R )가 존재한다면 f_1, f_2 ... f_n는 lineary independent 하다.

●Vector Space (벡터장)

 ▷Additiion, Scalar multiplication 연산이 정의된 set.

 ▷동일한 속성 적용 가능. 쉽고 명료한 증명

 ▶Addition : u + v

  ▷Closed (닫힘) : u + v ∈ V

  ▷Commutative (교환법칙) : u + v = v + u

  ▷Associative (결합법칙) :  (u + v) + w = u + (v + w)

  ▷Zero Element (0벡터) : u + 0 = u

  ▷Negative Element (-벡터) : u + (-u) = 0 (Unique)

 ▶Scalar multiplication : au (a,b ∈ R)

  ▷Closed (닫힘) : au ∈ V

  ▷Distributive (분배법칙)1 : a(u + v) = au + bu

  ▷Distributive (분배법칙)2 : (a + b)u = au + bu

  ▷Harmonious (결합법칙) : a(bu) = (ab)u

  ▷One : (1벡터) : 1u = u

 ▶ex) 행렬 / 실수 n벡터 / 실수계수 다항식 / 실수집합 내에서 정의되는 함수 / 

▶Euclidean Vector Spaces

 ▷R^n = { x | x is an n-vector }

 ▷n-vector -> n × 1 matrix로 생각 (점 or 원점으로 부터 향하는 화살표)

▶벡터장 증명

 ▷1. Closed 증명

 ▷2. u + v = 0

 ▷3. (-1)u = -u

 ▷나머지 증명

▶Cofactor Matrix

 ▷A_ij (= (-1)^(1+j) × det(M_ij)) 로 이루어진 Matrix

▶Adjoint of A ( Adj(A) )

 ▷Cofactor Matrix를 transpose 한 Matrix

 ▷A×Adj(A) = det(A)×I = Adj(A)×A

 ▷A^-1 = 1/det(A)×Adj(A)

 ▶Cramer's Rule

  ▷x_i = det(A_i) / det(A)

  ▷det(A_i) = (b_1)(A_1i) + (b_2)(A_2i) + .. +(b_n)(A_ni)

  ▷Pf) x = (A^-1)(b) = 1/det(A) × Adj(A) × b

●Determinant (행렬식) = det(M)

 ▷ 정방행렬 (n × n)에서 정의되는 스칼라 값.

 ▷ Matrix가 singular인지 아닌지를 알려주는 값. (0일때 singular이다.)

 ▷det(AB) = det(A)det(B) (A, B가 같은 크기에서)

 ▶행렬식 구하는 방법

  ▷2 × 2 : ad - bc

  ▷3 × 3 : 오른쪽 아래 대각선 - 왼쪽 아래 대각선

  ▶n × n

   ▷n × n 행렬 A에 대해서 M_ij :  A에서 i행과 j열을 삭제한 n-1 × n-1 행렬

   ▷A_ij(A의 원소 아님) = (-1)^(1+j) × det(M_ij)

   ▷det(A) = a_i1(A의 원소)A_i1 + (a_i2)(A_i2) + ... + (a_in)(A_in)

      det(A) = a_1j(A의 원소)A_1j + (a_2j)(A_2j) + ... + (a_nj)(A_nj)

    ▷(i!=j) -> 0 = a_i1(A의 원소)A_j1 + (a_i2)(A_j2) + ... + (a_in)(A_jn)

   ▷어떤 행/열을 선택해도 값은 같으므로 0이 최대한 많은 행/열을 선택하는게 좋다.

   ▷모든 요소가 0인 행/열이 있으면 det(A) = 0

   ▷det(A) = det(A^T)

   ▷triangular Matrix (lower or Upper),

     det(A) = (a_11)(a_22) ... (a_nn) : 대각요소의 곱

▶Row operation과 determinant (A -> B 에서)

 ▷Elimination -> 변화 X

  ▷det(E_e) = 1

 ▷Scaling -> det(B) = k×det(A) --> det(A) = 1/k×det(B)

  ▷det(E_s) = k

 ▷Interchange -> det(B) = -det(A)

  ▷det(E_k) = -1

●Elementary Matrix (E)

 ▷Identity Matrix (I) 에서 단 한 번의 elementary row operation을 시행한 Matrix

 ▷E를 다른 Matrix에 곱하면(EA) A에서 해당 elementary row operation을 한 것과 같다.

 ▷행렬 A에 여러 Elementary Matrix를 곱한 것 ( (E_k)(E_k-1) ... (E_1)A ) 은 A와 equivalent하다.

 ▶Inverse operations (elementary row operation의 Inverse) : 또한 elementary row operation이다.

  ▷Elimination : R_i - cR_j -> R_i  (R_j에 대한 Scaling임을 주의)

  ▷Scaling : 1/cR_i -> R_i

  ▷Interchange : R_i <-> R_j

●LU Factorization : m × n 행렬을 m × m lower triangle 행렬L 과 m × n upper triangle 행렬U로 분해하는 과정

 ▷A = LU / Ax = b -> Ly = b, Ux = y

 ▷연립방정식을 간단하게 풀 수 있다.

 ▷U, L을 구하는방법

  ▷U = (E_k) ... (E_1)A (위의 삼각형 형태, 오직 eliminations만 사용한다.) / A = (E_1^-1) ... (E_k^-1)U = LU

  ▷L = (E_1^-1) ... (E_k^-1)

  ▷Interchange가 필요하다면, 필요한 Interchange를 모두 행한 행렬 (PA)를 대상으로 LU Factorization을 행한다.

     PAx = LUx = Pb