선형 시스템 (Linear System) 기초

● 선형 방정식(Linear Systen) : 변수들 사이의 관계가 직선적인 관계(더하기)나 비례 관계를 나타내는 일차함수 식

 ○ 상수가 0이면 homogeneous(동질/균일)라고 부른다.

 ○ 계수가 0이 아닌 첫 변수를 선행 변수(leading variable), 나머지를 자유 변수(free variable) 

선형 방정식 (계수, 상수)

 

● 선형 시스템 : 계수 행렬이 A, 미지수 행렬이 x, 상수 행렬이 b일 때 Ax＝b의 꼴로 표시되는 시스템

 ○ 모든 상수가 0이면 homogeneous이다.

 

▶선형 시스템의 해 : Ax=b를 만족하는 x

 ▷특이해 : 각 변수에 대응하는 스칼라 (x_1 = 1, x_2 = 1)

 ▷일반해 : 해의 일반적 요소 (해 사이의 관계) (x_1 = r, x_2 = 2r)

 ▶해 집합의 종류

  ▷하나의 해

  ▷무수히 많은 해(범위)

  ▷해가 없음

 ▷homogeneous linear system은 반드시 하나 이상의 해 (모든 변수는 0)을 가지며, 이를 자명해(trivial solution)라 부름. (그렇지 않은 해는 nontrivial solution)

 

※ 첨가 행렬 : 계수와 상수를 합친 행렬

첨가 행렬

 

▶일치(consistent), 불일치(inconsistent)

 ▷일치 : 선형 시스템이 해를 가지고 있음. (1 개 or 여러 개)

 ▷불일치 : 선형 시스템이 해를 가지지 않음.

 

● 등가 시스템(equivalent system) : 두 시스템이 같은 변수를 포함하고, 같은 해집합을 가진다.

 -> 두 시스템이 equvialent하다면, 서로 바꿔도 문제없다.

 

▶Triangular system

 ▷strict triangular form : 위에서 부터 앞의 계수가 하나씩 0으로 되는 모양의 형태

   k번째 방정식은, k-1번째 까지 계수가 0이고, k번째 계수는 0이 아니다.

 ▷거꾸로 올라가며 해를 구하기 쉬운 형태이다.

Strict triangular form

 

▶ 초급 행(row) 계산 (Elementary Row Operations

 ▷Elimination : 행과 상수 곱의 행을 더해 하나의 변수를 제거한다. (R_i + c×R_j = R_i)

 ▷Scaling : 0이 아닌 상수를 행에 곱한다. (c×R_i = R_i)

 ▷Interchange : 2개의 행을 교환한다. (R_i ⇔ R_j)

 ▷초급 행 계산에 의해 변형된 시스템은 그 전의 시스템과 등가(equivalent)이다.

 

참고자료

선형방정식 : https://terms.naver.com/entry.nhn?docId=5821111&cid=65669&categoryId=65669

선형시스템 : https://terms.naver.com/entry.nhn?docId=827572&cid=50376&categoryId=50376

첨가행렬 : https://blog.naver.com/viru___s/221527291092

등가시스템 : https://terms.naver.com/entry.nhn?docId=844209&cid=50371&categoryId=50371