가우스 소거법

 ※행렬 기본 단어

▶Row Echelon Form (행사다리꼴 행렬)

 ▷Leading 1 :  0이 아닌 행(row)의 leading entry 는 1이다. (일부 문헌에서?)

 ▷Leading Right : 0 행이 아닌 각 행의 leading entry는 위 열의 leading entry보다 오른쪽에 있다.

 ▷Zero Row : 모든 0 행들은 0이 아닌 행들의 아래에 있다.

 

 +▷Zero Up-Down : 선행 계수 1이 존재하는 열(column)에서 그 선행 계수 1 이외의 열의 배열원소가 모두 0이다.

    -> Reduced row echelon form (기약 행사다리꼴 행렬).

 

▶가우스 소거법(Gauss Elimination)

 ▶메인 대각선 아래를 모두 0으로 만든다. -> 행 사다리꼴

  ▷1열 요소가 0이 아닌 행을 하나 택한다.

  ▷이를 위쪽에 올리고(interchange), 나머지 는 그 열에서 0으로 만들도록 계산한다.(Elimination) 이 과정을 열을 오른쪽으로 옮겨가며 반복한다.

  ▷pivot(기준)은 행렬이 Elementry Row Operation에 의해 다른 equivalent한 행렬로 변해도 열에서 그 위치가 동일하다.

 ▶아래에서 위로, pivot들은 1이 되게, 피봇을 제외한 열(column)의 다른 요소들은 0이 되게 만든다. -> 기약행 사다리꼴

  ▷기약행 사다리꼴 행렬은 계산 전 시스템과 equivalent한 시스템이지만, 기약행 사다리꼴 으로는 오직 하나만 있다.

 

※ Pivot(기준) Position : 행사다리꼴 행렬에서 leading entry의 위치, 이는 행사다리꼴 행렬에서 변하지 않는다.

 ▷Partial Pivoting : 1열에서 그 절대값이 가장 큰 값을 1열의 leading entry로 한다.

 ▷Full Pivoting : 전체 행렬에서 그 절대값이 가장 큰 값을 강제로 옮겨 그 값을 1열의 leading entry로 한다. -> 그 과정에서 변수 순서를 바꿔야 한다. (ex) x_1 <-> x_3)

 

▶선형 시스템의 해

 ▷첨가 행렬에 대해 가우스 소거법의 초기 과정을 이행한다. 이 과정에서 마지막 열(상수부)이 pivot이라는 것을 찾으면, 멈춘다. 이 선형 시스템은 불일치이다. (해가 없다)

 ▷가우스 소거법을 끝낸다. 첨가 행렬의 기약행 사다리꼴을 적는다. (0인 방정식은 무시한다.)

 ▷기약행 사다리꼴 행렬의 선행 변수(leading variable) = pivot, 자유 변수(free variable)을 구분한다. leading variable을 free variable와 상수에 대한 식으로 쓴다.

 ▶해의 존재

  ▷첨가 행렬의 사다리꼴 행렬에서 마지막 열(column)=상수부가 pivot가 아니라면, 일치(consistent)하는 선형 시스템이다.

  ▷ = 행렬에서 [0 0 0 0 ... 0 : c], c!=0 의 형태가 있다면, 불일치(inconsistent)하는 선형 시스템이다.

 ▶해의 유일성

  ▷일치하는 선형 시스템에서 자유 변수를 가지고 있지 않으면, 오직 하나의 해를 가진다.

  ▷일치하는 선형 시스템에서 첨가 행렬이 마지막 열 이외의 모든 열이 pivot이고, 마지막 열은 pivot이 아니면 오직 하나의 해를 가진다.

 ▶해의 개수 - 다음 중 하나의 해집합을 가진다.

  ▷하나의 해

  ▷무수히 많은 해

  ▷해를 가지지 않음

 ▶Homogeneous 선형 시스템의 해

  ▷하나의 해, 또는 무수히 많은 해를 가진다 -> 일치(consistent)하는 선형 시스템이다.

  ▷자유 변수를 가지거나, 방정식보다 많은 변수를 가진다면 무수히 많은 해를 가진다.

 

  

참고자료

행사다리꼴행렬 : https://m.blog.naver.com/PostView.nhn?blogId=thescyther&logNo=221058092722&proxyReferer=https%3A%2F%2Fwww.google.co.kr%2F

가우스소거법 : https://bskyvision.com/273