Cyclic Group

○Cyclic Group

 ▷한 원소(x)의 지수승으로, 나머지 원소들을 표현 가능한 Group

 ▷x: generator / primitive element

 

 ▶subgroup of Cyclic group (<a>)

  ▷<a>: S = { a^k | k ∈ Z } for a∈G

  ▷Cyclic group의 요소 a의 지수승으로 만든 group

  ▷closed, inverse를 만족한다.

  ▶Cyclic gruop의 subgroup은 모두 cyclic하다.

 

 ▶order of a (ord(a) = |<a>|)

  ▷ord(a) = a^n=e(identity)가 되는 가장 작은 자연수 n.

 

 ▶이론 (Cyclic group G, a ∈ G)

  ▶a^(k ord(a)) = e. (k: 임의의 정수)

   ▷a^m = e이면, m은 ord(a)의 배수이다.

 

  ▶|G| = infinite -> G는 <Z, +>와 isomorphic하다.

   ▷G = <g> = {g^k | k ∈ Z}

   ▷f(g^k) = k인 함수를 가정. -> homomorphism, one-to-one, onto

 

  ▶|G| = n>1 -> G는 <Zn, +>와 isomorphic하다.

   ▷G = <g> = {g^k | k ∈ Z}

   ▷f(g^k) = [k]인 함수를 가정. -> homomorphism, one-to-one, onto

 

▶Cyclic gruop의 subgroup은 모두 cyclic하다.

 ▶Lagrange's Theorem

  ▷finite group G(order n)와 G의 subgraph인 H(order m)가 있으면, m은 n의 약수이다.

 

  ▶finite group G와 a ∈ G일때, ord(a)는 |G|의 약수이다.

   ▷<a>는 G의 subgraph이다.

 

  ▶prime order인 모든 group은 cyclic하다.

   ▷subgraph가 {e}, G밖에 없다.

   ▷e가 아닌 b ∈ G에 대해 <b> = G일 수 밖에 없다. (subgraph가 {e}가 아니면 G이기 때문)