Group

●Group

 ▷nonempty set G와 binary operation □에 대해

 ▷<G, □>이 다음을 만족하면 Group이다.

 

 ▶조건 - <G, □>

  ▷Closure under □: a,b ∈ G에서 a □ b ∈ G

  ▷Associative: a, b, c ∈ G에서 (a □ b) □ c = a □ (b □ c).

  ▷Existence of an Identity: e ∈ G에서 e □ a = a □ e = a

  ▷Existence of Inverses: 각각 a ∈ G에 대해 a ́ □ a = a □ a ́ = e인 a' ∈ G가 존재한다.

  ▷abelian 조건 -  Commutative: a,b ∈ G에서 a □ b = b □ a

 

 ▶Order of Group ( |G| )

  ▷Group element의 개수

  ▷유한하지 않다면 무한하다.

 

 ▶성질 

  ▷identity(항등원)은 유일하다.

  ▷각 element에 대해 inverse(역원)은 유일하다.

  ▷a, b, c ∈ G에서 ab = ac가 성립하면, b = c이다. (Left-cancellation) (a □ b = ab)

  ▷a, b, c ∈ G에서 ba = ca가 성립하면, b = c이다. (Right-cancellation) (a □ b = ab)

 

 

○Subgroup

 ▷G의 부분집합 H (H ⊆ G)에 대해

 ▷H가 binary operation □를 만족하는 group이다.

 

 ▷{e-identity}와 G(자기 자신)는 모든 Group에 대해 Subgraph이다.

 

 ▶조건

  ▷Closure under □: a,b ∈ H에서 a □ b ∈ H

  ▷Existence of Inverses: 각각 a ∈ H에 대해 a ́ □ a = a □ a ́ = e인 a' ∈ H가 존재한다.

  ▷위의 두 조건을 만족하면, 나머지 조건들도 만족한다.

 

  ▷G의 nonempty finite subset H에 대해, H가 □에대해 closed하면, H는 G의 Subgroup이다. (<->)

 

 

○Direct Product ( <G×H, ◇> )

 ▷<G , □>,<H, △> 가 Group일때

 ▷G×H에서 연산자 ◇를 다음과 같이 정의하면

 ▷(g1, h1) ◇ (g2, h2) = (g1 □ g2, h1 △ h2)

 ▷<G×H, ◇> 는 G와 H의 Direct Product이다.

 

 

○Power of Elements (a^n)

 ▷(a □ b = ab라고 할때

 ▷a^0 = e

 ▷a^1 = a

 ▷a^n = a^(n-1)  a

 ▷a^(-n) = (a^-1)^n

 ▷a^m a^n = a^(m+n)

 ▷(a^m)^n

 

 

○Homomorphism

 ▷<G , □>,<H, △> 가 Group이고, f : G -> H일때

 ▷모든 a, b에 대해 a, b ∈ G, f (a □ b) = f (a) △ f (b)이면

 ▷f는 group homorphism이다.

 

 ▶속성

 

 ▶Isomorphism

 ▷f: <G , □> -> <H, △>이 homomorphism일때

 ▷one-to-one(1대1 대응), onto(공격 = 치역) 관계를 만족하면

 ▷G, H는 isomorphic groups이다.