Ring and Fields

●Ring (<G,+,⋅>)

 ▷2개의 closed binary operation을 가진 nonempty set G.

 ▶다음의 조건들을 만족함

  ▷+연산에 대해 abelian group임.

  ▷×는 ＋에 대해 분배법칙이 성립함. (a⋅(b+c) = a⋅b + a⋅c, 반대도 성립)

  ▷×연산은 Closed하고, Associative함. -> Ring

 

 ▶분류 (연산자 2개 <R, +, ⋅>)

  ▷Ring (환): + Associative

  ▷Ring with Unity: Ring (A) + Identity

  ▷Commutative Ring: Ring (A) + Commutative

  ▷Commutative Rign with Unity: Ring (A) + Identity, Commutative

  ▷Field (체): Ring (A) + Identity, Commutative, Inverse

 

  ▶Commutative Ring with Unity

   ▷Commutative Ring

    ▷R내의 모든 a,b에 대해 ab = ba를 만족한다.

   ▷Ring with Unity

    ▷au = ua = a가 되는 zero element가 아닌 u가 R 내에 존재한다.

    ▷u: unity / multiplicative identity - 유일하다.

 

 ▶속성 (연산자 2개 <R, +, ⋅>)

  ▶additive 연산에 대해 다음이 성립한다.

   ▷additive identity는 Ring에서 단 하나만 존재한다.

   ▷additive inverse는 각 Ring의 element에 대해 단 하나만 존재한다.

 

  ▶a, b, c ∈ R에 대해 다음이 성립한다. (Cancellation Laws of Additions)

   ▷a+b = a+c 이면 b = c이다.

   ▷b+a = c+a 이면 b = c이다.

 

  ▶additive identity z에 대해, az = za = z가 성립한다.

   ▷az + z = az = a(z+z) = az + az -> az = z

 

  ▶a, b ∈ R이고, e의 additive inverse를 -e라고 할 때,  다음이 성립한다.

   ▷-(-a) = a

   ▷a(-b) = (-a)b = -(ab)

   ▷(-a)(-b) = ab

 

  ▶multiplicative 연산에 대해 다음이 성립한다.

   ▷R가 unity를 가진다면, 이는 Ring내에서 단 하나만 존재한다.

   ▷R가 unity를 가지고 x가 R의 unit이라면, x의 multiplicative inverse는 단 하나만 존재한다.

 

 

○Integral Domain

 ▷proper divisors of zero가 없는 Commutative Ring with Unity. (ab = z이면 a=z 또는 b=z)

 ▷a ≠ z이고, a,b,c ∈ R에서 ab = ac일때 b = c가 성립하는 Commutative Ring with Unity. (Cancellation)

 

 

○Fields

 ▷모든 nonzero element가 unit인 Commutative Rign with Unity

  ▷Unit: inverse를 가지는 element

 

 ▷Field는 integral domain이다.

 ▷finite integral domain은 Field이다.

 

 

○Polynomial Rings

 

○Galois Field (Finite Field)

 ▷GF(p^t)

 ▷Finite field F가 order p^t를 가지는 것. (p: prime, t: 자연수)

 ▷크기가 같은 Finite Field는 항상 동형이다. (p, t에 따라 unique하다)